Opi kompleksilukujen periaatteet ja pelasta kaupunki suurpalolta!
Pelastaja on Helsingin yliopiston FAME-tiimin ja Tiedekeskus Heurekan yhteistyössä toteuttama lautapeli, joka on suunniteltu vahvistamaan pelaajien matemaattisia ongelmanratkaisukykyjä hauskalla ja visuaalisesti innostavalla tavalla.
Pelin on valmistanut kotimainen Tactic Games, jonka rakastettuihin klassikoihin kuuluvat mm. Kimble, Alias ja Mölkky. Pelastaja on pian saatavilla Heureka Shopista.
Lähde kompleksilukujen mahdollistamalle pelastusretkelle pitkin Reaalikatua ja Imaginaarikatua!
Kompleksiluvut ovat kiehtovia!
Ne ovat melkein samanlaisia kuin tutut ”tavalliset” luvut, mutta niihin liittyy erikoisia temppuja. Temppujen avulla voimme käyttää kompleksilukuja sellaisten pulmien ratkaisuissa, jotka muuten olisivat vaikeita tai mahdottomia.
Kompleksiluvulla laskeminen on kuin käyttäisi kahta lukua yhtä aikaa. Otetaan esimerkiksi kompleksiluku 3+4i. Tässä ”i” on se salaperäinen lisuke, nimeltään imaginaariyksikkö, joka erottaa kompleksiluvun tavallisista luvuista. Miten i:llä laskeminen menee?
Jos lisäämme i:n itseensä, saamme i+i = 2i. Mutta jos laskemme yhteen tavallisen luvun ja i:n, ne pysyvät erillään. Esimerkiksi laskusta 2 plus i tulee tulokseksi 2+i.
Yhteenlasku menee siis niin, että imaginaarisia lukuja eli i:n monikertoja summaillaan keskenään ja tavallisia lukuja myös keskenään sekoittamatta niitä i:n kanssa. Tämä vastaa Pelastaja-pelissä askelten ottamista Imaginaarikadun tai Reaalikadun suuntaan.
Tähän väliin kuuluu maininta, joka liittyy noiden katujen nimiin. Jokaisella kompleksiluvulla on reaaliosa ja imaginaariosa, jotka puolestaan toimivat kyseisen luvun ”osoitteina” Reaalikadulla ja Imaginaarikadulla. Pari esimerkkiä: luvun 3+4i reaaliosa on 3 ja imaginaariosa 4. Edelleen: luvun 2+i reaaliosa on 2 ja imaginaariosa 1.
Entäs kompleksilukujen kertolasku? Jos kerromme i:n kolmosella, saamme yksinkertaisesti 3i. Hiukan mutkikkaampi lasku on kolmosen ja luvun 2+i tulo, josta tulee 3(2+i) = 3*2 + 3*i = 6+3i. Tuo menee samaan tapaan kuin yleensäkin sulkujen sisään kertominen. Ensimmäinen kummallisempi temppu tulee vastaan, kun kerromme i:n ja i:n keskenään. Siitä tulee i*i=-1. Tämähän on jo erikoisempi juttu!
Kokeillaan kertoa kaksi mutkikkaampaa kompleksilukua keskenään.
(3+4i)(2+i) = 3(2+i) + 4i(2+i) = 6+3i+8i+4*i*i = 6+11i-4 = 2+11i
Mihin kompleksilukuja voi käyttää? Yksi esimerkki on polynomiyhtälöiden ratkaiseminen. Polynomi on lauseke, joka saadaan yhdestä tai useammasta muuttujasta ja vakiosta sekä muuttujan potensseista yhteenlaskemalla, vähentämällä tai kertomalla.
Oletko törmännyt toisen asteen yhtälöihin? Esimerkiksi tällaiseen:
p(x) = x^2 – 5x + 4 = 0
Tavoitteena on siis löytää sellaisia x:n arvoja, joille p(x) = 0. Yllä olevalle polynomille sellaisia arvoja on kaksi, nimittäin x=1 ja x=4. Niitä kutsutaan polynomin p juuriksi. Olet ehkä kuullut sanottavan, että toisen asteen polynomilla on kaksi juurta, yksi juuri tai ei yhtään juurta. Mutta tuo väite koskee vain tavallisia lukuja. Kompleksilukujen maailmassa jokaisella polynomilla on kaksi juurta (joskin myös tuplajuuri on mahdollinen, jolloin sitä voidaan pitää yhtenä tai kahtena määritelmästä riippuen).
Yksi esimerkki polynomista vailla tavallisia (eli reaalisia) juuria on q(x)=x^2+1. Mistä se johtuu? No, olipa x negatiivinen tai positiivinen reaaliluku, x^2 on välttämättä positiivinen. Paitsi jos x=0, jolloin x^2 on myös nolla. Jos lisäämme nollaan tai positiiviseen lukuun ykkösen, lopputulos ei koskaan ole nolla. Näyttää siis siltä, että q(x) = 0 ei voi koskaan toteutua. Mutta meillähän on kompleksiluvut käytössä!
q(i) = i^2 + 1 = i*i + 1 ? -1+1 = 0
Siten i on polynomin q juuri. Vastaavalla laskulla näemme, että myös -i on q:n juuri eli q(-i)=0. Niinpä q:lla ei suinkaan ole nolla juurta vaan kaksi.
Kompleksiluvut ovat muutakin kuin näppärä matikkajippo. Niillä on paljon käyttöä esimerkiksi sähkötekniikassa sekä äänen- ja kuvankäsittelyssä. Niin, ja tietokonegrafiikassa! Kuvaruudulla näkyviä asioita voidaan nimittäin pyöritellä kompleksilukuja köyttäen. Vaan mitenkäs se onnistuu?
Kuvitellaan, että haluamme siirtää kuvaruudun pistettä P. Ihan alkajaisiksi meidän täytyy liittää P.hen ikioma kompleksiluku z, joka kertoo P:n sijainnin. Se tapahtuu niin, että pisteen P x-koordinaatti laitetaan z:n reaaliosaksi ja y-koordinaatti imaginaariosaksi: z = x+iy. Huomaa, että jokainen kompleksiluku myös määrittää pisteen ruudulla: otat vain reaaliosan x-koordinaatiksi ja imaginaariosan y-koordinaatiksi. Näin syntyy kompleksitaso, jossa Pelastaja-peli tapahtuu!
Koska piste P=(x,y) ja kompleksiluku z=x+iy ovat toisiinsa liitetyt, voimme siirtää pistettä P muuttamalla lukua z kompleksisilla laskutoimituksilla. Esimerkki: katsotaan, mitä tapahtuu jos kerromme lukua 3+4i imaginaariyksiköllä i. Käytetään jo oppimiamme laskusääntöjä ja saadaan
(4+3i)*i = 4i + 3*i*i = 4i + 3*(-1) = 4i-3 = -3 + 4i
Huomataan, että i:llä kertominen pyörittää pisteen P sijaintia 90 astetta vastapäivään niin, että pyörähdyskeskipiste on koordinaatiston nollapisteessä eli origossa.
Teksti: Bjørn Jensen, Fernando Moura ja Samuli Siltanen